RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS MEDIANTE EL TEODOLITO ANDINO

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 

Se presentan dos casos generales de resolución de triángulos de acuerdo al tipo de triángulo, las cuales son:

• Resolución de Triángulos Rectángulos
• Resolución de Triángulos Oblicuángulos

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Los triángulos rectángulos se definen como la porción del plano delimitado por tres rectas que se cortan, dos de forma perpendicular y la otra oblicua a las anteriores. Quiere decir que entre dos rectas se forma un ángulo recto y los otros dos ángulos son agudos y cuya suma equivale a 90°

Todo triángulo tiene 6 elementos (tres lados y tres ángulos). Para resolver un triángulo es necesario calcular los valores de tres de sus elementos, cuando se conocen los otros tres.

Entre los elementos conocidos, por lo menos uno de ellos debe ser un lado. Tratándose de un triángulo rectángulo hay un elemento que ya es conocido: el ángulo recto cuyo valor es 90°

En Trigonometría por lo general se designa a los ángulos por las letras mayúsculas de sus vértices: A, B, C y a los respectivos lados opuestos por las correspondientes minúsculas: a, b, c 

CASOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Para la resolución de triángulos rectángulos se distinguen cuatro casos:

1. La Hipotenusa y un ángulo agudo
2. Un cateto y un ángulo agudo
3. La hipotenusa y un cateto
4. Los dos catetos

 CONSTRUCCIÓN DE UN TEODOLITO CASERO

La medición de alturas y distancias, es una operación que no siempre es posibles hacerla en forma directa, y si algunas veces se puede medir en forma directa, esta tarea se simplifica utilizando aparatos especiales, que miden con facilidad y exactitud los ángulo, como el TEODOLITO que sirve para medir ángulos horizontales y verticales, de ésta forma se podrán establecer las relaciones trigonométricas adecuadas para determinar las alturas y distancias.
La construcción de mapas durante los siglos XVIII y XIX, se basaba en resoluciones complicadas de redes de triángulos (triangulación solapada). En estos grandes triángulos los lados tenían que calcularse a partir de sus ángulos, que podían medirse con exactitud con los TEODOLITOS.
A mediados de nuestro siglo se utilizó mayormente la fotografía aérea o “fotogrametría” para simplificar de manera extraordinaria las observaciones y medidas necesarias para levantar planos topográficos o mapas.
En la actualidad los mapeos se realizan por satélites que tienen gran poder de acción sobre el hemisferio terrestre, este adelanto científico permite tener gran información sobre los diferentes entornos de los cuales se conforma nuestro planeta tierra.

Materiales

• Una base de madera de 15cm. x 20cm.
• Un listón de madera de 30cm x 3cm x 2cm
• Un cincel, hilo plástico
• Un transportador de 180°
• Un visor de plástico o acrílico
• Una esfera pequeña de plomo o hacer
• Un desarmador y tornillos de media pulgada

PASOS PARA LA Construcción

• Tracemos el punto medio de la base de madera y con el cincel labraremos la posición de soporte del listón.
• Coloquemos el listón de madera verticalmente en la posición indicada.
• En la parte superior lateral del listón, tracemos el punto medio y fijemos un tornillo.
• En la base del transportador adheriremos el visor entre 0º y 180º y lo colocaremos en la parte superior lateral del listón (cabeza abajo)
• En el tornillo fijado, amarraremos el hilo de plástico, sujetando la esfera de acero en uno de sus extremos (en forma de péndulo de reloj a unos 15cm del tornillo

APLICACIÓN

Dos jóvenes de quinto de secundaria, deseaban calcular la altura de la colina Ventilla ubicada en la comunidad de Villa Vilaque, para el efecto y con ayuda del Teodolito casero se realizaron las siguientes medidas:   α = 30º y β = 60º, además se conoce que la distancia entre ambos jóvenes es de 528,631 metros. Considérese de 1.20 metros la altura del Teodolito.

SOLUCIÓN:

1.   Modelando el problema tenemos:

2. Resolviendo los triángulos tenemos:

En el triángulo ABC, se hace necesario calcular: ya sea el lado “a” ó “b”, para luego trabajar con el triángulo 1 (T1) o con el triángulo 2 (T2) según convenga, en vista de que se contará con los tres datos necesarios para hallar “h₁”.

3. En el triángulo ABC, procederemos a calcular el ángulo C:

4. Cálculo del lado “a”:

Aplicando Teorema de Senos tenemos:

                                               

Con lo que el triángulo quedaría de la siguiente manera:

5. Procederemos a calcular h₁, con el triángulo 2 (T2):

Aplicando Razones Trigonométricas para triángulos rectángulos tenemos:

6. Volviendo al gráfico inicial tenemos:

Como h₁ = 229.95[m] y h₂ = 1.20[m] pues es la altura del teodolito, entonces la

altura total de la colina Ventilla será:

Estudiantes de quinto de secundaria realizando el cálculo del ejercicio anterior con la ayuda del TEODOLITO CASERO:

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS A TRAVÉS DEL GEOPLANO

CONSTRUCCIÓN DE UN GEOPLANO

Es de conocimiento general que una de las maneras para estudiar la Trigonometría es 

través de elementos geométricos, que el GEOPLANO nos permitirá ubicar sobre un plano 

artesiano.

En el GEOPLANO no nos sirve solamente para ubicar figuras geométricas y calcular áreas, 

sino también se puede realizar la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos con

sus respectivos cálculos analíticos.

Material

•           Tablero de 30cm x 30cm x 2cm
•           300 Clavos o tachuelas, martillo y lija
•           Lápiz,  marcadores y Ligas de colores
•           Instrumental geométrico

PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN 

• En la superficie de madera trazamos rectilíneas verticales y horizontales formando cuadrado de de 1cm x 1cm, en un espacio de 16cm.
• Hallamos el punto central de nuestro tablero y trazamos dos líneas perpendiculares interceptadas en el punto 0.
• En las intersecciones de cada línea horizontal y vertical situamos los clavos o tachuelas de manera simétrica formando una cuadricula de 2cm. de separación.
• Los clavos deben sobresalir de la base 1cm. aproximadamente.

APLICACIÓN

Hallar la hipotenusa en el triángulo rectángulo ABC, donde C es el ángulo recto, si uno de sus catetos mide 2 unidades y el otro 6 unidades. 

                                                                                   

ELABORACIÓN DE GEOPLANOS

                

ESTUDIANTES DE 5TO DE SECUNDARIA DE LA UNIDAD EDUCATIVA "REPÚBLICA DE CANADÁ" 

EN PROCESO DE CONSTRUCCIÓN DE LOS GEOPLANOS

                              

APLICACIÓN DE LOS GEOPLANOS EN PROBLEMAS DEL ENTORNO EN GRUPOS DE TRABAJO

                              

ESTUDIANTES TRABAJANDO COMUNITARIAMENTE EN LA RESOLUCIÓN

DE EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA TANTO ANALÍTICAMENTE COMO EMPÍRICAMENTE

                   

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN EL SABER CULTURAL

TRIÁNGULO

Un triángulo cualesquiera presenta tres lados y tres ángulos interiores cuya suma es 180°

PARTES DE UN TRIÁNGULO

Un triángulo cualquiera se compone de las siguientes partes:

• Base, es uno de los lados (lado opuesto al vértice)
• Vértice, es la intersección de los lados congruentes (forman el ángulo)
• Altura, es el elemento perpendicular a una base o a su prolongación, trazada desde el vértice opuesto
• Lados, son tres conjuntamente con los ángulos definen las clases o tipos de ángulos

CARACTERÍSTICAS DE UN TRIÁNGULO

Las características de cualquier triángulo es:

• Son figuras planas
• Tienen área pero no volumen
• Los triángulos son polígonos
• La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°

CARACTERÍSTICAS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

• Uno de sus ángulos internos es recto, es decir mide 90°; y sus otros dos ángulos son agudos (<90°)
• Sus lados tienen nombres específicos: los dos lados que forman el ángulo recto se llaman Catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama Hipotenusa
• Se resuelven mediante el Teorema de Pitágoras y las Funciones Trigonométricas (seno, coseno, tangente y sus recíprocas)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

GRÁFICAMENTE TENEMOS LO SIGUIENTE:

VIDEO SOBRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NUESTRO CONTEXTO

INTRODUCCIÓN

La Trigonometría es una ciencia antigua, ya conocida por las culturas orientales y mediterráneas pre cristianas. No obstante, la sistematización de sus principios y teoremas se produjo solo a partir del siglo XVI, para incorporarse como una herramienta esencial en los desarrollos de análisis matemático moderno.

Las primeras aplicaciones de la Trigonometría se hicieron en la agrimensura (es el nombre que recibe el arte y la técnica de medir las superficies de los terrenos y levantar los planos correspondientes), la navegación, aviación, astronomía, ingeniería, etc., permitiendo calcular distancias inaccesibles. Estas funciones también desempeñan un papel importante en toda clase de fenómenos vibratorios (sonido, luz, electricidad, etc.)

Por lo tanto la TRIGONOMETRÍA es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológica-mente significa " medida de triángulos" Deriva de las voces griegas: TRI = TRES, GONON = ÁNGULO y METRON = MEDIDA 

PERSONAS EN LA ANTIGÜEDAD REALIZANDO MEDICIONES 

TEOREMA DE PITÁGORAS 

Un triángulo rectángulo se conforma de tres lados. El lado más largo y opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, los otros dos lados son denominados catetos.

IMAGEN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y SUS ELEMENTOS 

El Teorema de Pitágoras expresa: "En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa". Es decir:

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS